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087章 高斯定理的估算
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“这位同学，请保持清醒，不要在考场上打瞌睡。”监考老师十分严肃的提醒沈奇。
“嗯，抱歉。”沈奇揉揉太阳穴，最近一段时间改《奥数冠军沈奇的数学技巧》的稿子，改的他心力憔悴，没怎么休息好。
“赶紧搞定最后一道计算题，搞完了回家补觉。”沈奇打起精神，仔细审题。
审完最后一道25分的计算题，沈奇终于有了几分兴趣：“就这最后一题，像是正规物理老师出的题。”
物理计算题大多配有示意图，不配图的物理题一般呈现两种极端，一种是简单的想打瞌睡，另一种是难的吊炸天。
初赛镇宅之题的分值最高，25分，这道计算配有示意图。
示意图是一个圆，从圆心O到圆周七点钟方位画有一条虚线R，这条虚线R是圆的半径。在圆心O旁边不远处有个小黑点mq。
本题的文字描述是：
“如图所示，电荷线密度为λ（λ＞0），半径为R的均匀带点圆环固定在光滑的水平绝缘桌面上。质量为m、电量为q的光滑小球，静止放在桌面上与圆环中心O点非常接近的位置处。”
“设圆环上电荷的分布不受小球电荷的影响，试判断小球之后的运动是否为振动？”
“若为振动，设小球初始位置与O点的距离r0＜＜R，试用适当的近似方法估算小球的振动周期T。”
估算与严格计算的区别在于，估算可以绕过复杂的数学演算，直接获得正确的定性结论和比较接近的粗略定量结果。
就初赛最后一道计算题而言，小球的运动是振动还是非振动，沈奇必须给出定性结论，判断不得有误。这是第一步。
对于同一道物理题，如果采用估算方法，可选择的途径往往不止一条。
很明显，这是道电磁学题目，沈奇在诸多种估算方法中，选择静电场高斯定理为依据开始答题。
沈奇作出一个辅助图，取通过O点并与圆环平面垂直的轴为x轴。
在圆平面上以O点为圆心，作半径为r的圆。
将此圆沿x轴的正负方向各延展l，一个圆柱面就此形成。
沈奇取此圆柱面为高斯面，因其中无电荷，根据高斯定理可得：
?E*ds=0
高斯定理一祭出，真相越来越清晰。
带正电的小球所受静电力总是指向圆环中心O点，为恢复性保守力，小球的运动为振动，振动中心就是O点。
沈奇很快解决了第一问，这就是定性给结论，接受过物竞培训的学生应该都能给出正确的结论性判断。
第二问要求沈奇估算小球的振动周期T，稍微麻烦一点点。
圆柱两端面的电通量可以近似的用x轴上的电场强度来计算，沈奇作出计算：
E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2
那么通过两端面的电通量近似值就出来了：
?两端面E*ds≈E1*2πr^2
通过圆柱侧面的电通量可以近似的用圆平面上与O点相距为r处的电场强度Er来计算，根据高斯定理可得：
?圆柱面E*ds=?两端面E*ds+?侧面E*ds=0
那么带电小球在r处所受静电力为：
Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
考虑到线性恢复力，小球在它的作用下将绕O点做简谐振动。
所以周期T=4πR根号εm/λq
“搞定。”历经CMO乃至IMO的洗礼，沈奇在学科竞赛的赛场上已算一位经验丰富的老将。
数竞也好，物竞也罢，竞赛模式大同小异。
既然是老将，就不能骄傲自大、暴躁浮夸，必须时刻保持严谨的竞赛作风。
沈奇检查了一遍考卷，然后交卷，此时距开考过去了30多分钟。
“这尼玛？”
“卧槽？”
“这么早交卷？”
“不停的写，写满试卷也得30分钟吧？”
“这货不用思考的？还是瞎几把写？”
同一考场的其他选手明显受到沈奇交卷的影响，各自在心中高呼MMP。
虽然CPhO全国初赛的考卷不难，但这么早交卷也属罕见。
物竞圈子里也有眼尖的选手：“提前交卷这货……莫非是沈奇？那个国际奥数竞赛的冠军？”
沈奇走到考场门口，阿嚏，忽然打了个喷嚏，脊梁骨竟冒出一丝寒意。
“谁在骂我？”沈奇猛然回头，眼神犀利扫视众选手。
“草！”
众选手菊花乱颤，遂埋头继续答题。
“喂，交了卷请迅速离开考场。”监考老师催促沈奇，并快速审视沈奇的试卷，该写的都写满了，有理有据，不像瞎蒙，这种情况允许提前两个多小时交卷。
沈奇大步离去，在考场外见到了穆蓉。
“这……沈奇你也太快了吧？”穆蓉有些意外。
沈奇略显从容：“一般一般，亚洲第三。”
“那亚洲前二是谁？”穆蓉忍住不让自己发笑。
沈奇一本正经的说到：“是校长和穆老师。”
“哈哈。”穆蓉终于忍不笑了起来，又觉得疑惑：“你这政治觉悟，政治考试不可能拿B吧？”她也听说了，沈奇政治考试拿了个B，其余几门都是A。
“哎，谁不曾年轻过，懵懂过。”沈奇一想起政治考试就不爽，黑历史啊，无法抹去的污点。当然了，高二下学期之前沈奇黑历史挺多的，既然无法抹去，那便坦然面对。
沈奇伸了个懒腰：“哈欠……好困，我要睡觉了。”
“去吧，回家好好休息，辛苦了。”穆蓉没有跟沈奇讨论任何一题，沈奇的行动说明了一切。
初赛的阅卷工作将在一到两周内完成，CPhO的复赛安排在四月中旬举行。
第二天，沈奇在南港二中遇见了几个校物竞队的队友。
“我估完分，觉得能考个140？”物竞队的队友林星宇说到。
“我错了一道选择题、两道填空题，两道计算题，初赛得分大概在120到130之间。”另一位队友白玲烨说到。
“你呢沈奇大佬？”林星宇问到。
“我估计在200分左右？或许最后一道计算题某些步骤要扣掉一两分，也说不准，不知道。”沈奇说到。
“牛！”林星宇对沈奇有种盲目的崇拜，200分就是满分。
“完了完了，初赛晋级分数线被沈奇拉高了。”白玲烨苦哈哈的说到。
“白玲烨你数学怕是不及格哦。”林星宇说到，“全国那么多选手参赛，一个满分就拉高分数线了？吐槽都不会，差评！”
……
……
（昨天初二在亲戚家喝大了，刚起床，脑壳疼，起来发一章存稿然后接着睡，今天估计码不了几个字，晚上还要去其他亲戚家吃饭，在我老家过年，20岁以上的男人不喝酒是不被允许的。
接到起点的通知，3月1日上架，我得存点稿，今天估计存一章稿都难，所以只能更新一章。）
“这位同学，请保持清醒，不要在考场上打瞌睡。”监考老师十分严肃的提醒沈奇。
“嗯，抱歉。”沈奇揉揉太阳穴，最近一段时间改《奥数冠军沈奇的数学技巧》的稿子，改的他心力憔悴，没怎么休息好。
“赶紧搞定最后一道计算题，搞完了回家补觉。”沈奇打起精神，仔细审题。
审完最后一道25分的计算题，沈奇终于有了几分兴趣：“就这最后一题，像是正规物理老师出的题。”
物理计算题大多配有示意图，不配图的物理题一般呈现两种极端，一种是简单的想打瞌睡，另一种是难的吊炸天。
初赛镇宅之题的分值最高，25分，这道计算配有示意图。
示意图是一个圆，从圆心O到圆周七点钟方位画有一条虚线R，这条虚线R是圆的半径。在圆心O旁边不远处有个小黑点mq。
本题的文字描述是：
“如图所示，电荷线密度为λ（λ＞0），半径为R的均匀带点圆环固定在光滑的水平绝缘桌面上。质量为m、电量为q的光滑小球，静止放在桌面上与圆环中心O点非常接近的位置处。”
“设圆环上电荷的分布不受小球电荷的影响，试判断小球之后的运动是否为振动？”
“若为振动，设小球初始位置与O点的距离r0＜＜R，试用适当的近似方法估算小球的振动周期T。”
估算与严格计算的区别在于，估算可以绕过复杂的数学演算，直接获得正确的定性结论和比较接近的粗略定量结果。
就初赛最后一道计算题而言，小球的运动是振动还是非振动，沈奇必须给出定性结论，判断不得有误。这是第一步。
对于同一道物理题，如果采用估算方法，可选择的途径往往不止一条。
很明显，这是道电磁学题目，沈奇在诸多种估算方法中，选择静电场高斯定理为依据开始答题。
沈奇作出一个辅助图，取通过O点并与圆环平面垂直的轴为x轴。
在圆平面上以O点为圆心，作半径为r的圆。
将此圆沿x轴的正负方向各延展l，一个圆柱面就此形成。
沈奇取此圆柱面为高斯面，因其中无电荷，根据高斯定理可得：
?E*ds=0
高斯定理一祭出，真相越来越清晰。
带正电的小球所受静电力总是指向圆环中心O点，为恢复性保守力，小球的运动为振动，振动中心就是O点。
沈奇很快解决了第一问，这就是定性给结论，接受过物竞培训的学生应该都能给出正确的结论性判断。
第二问要求沈奇估算小球的振动周期T，稍微麻烦一点点。
圆柱两端面的电通量可以近似的用x轴上的电场强度来计算，沈奇作出计算：
E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2
那么通过两端面的电通量近似值就出来了：
?两端面E*ds≈E1*2πr^2
通过圆柱侧面的电通量可以近似的用圆平面上与O点相距为r处的电场强度Er来计算，根据高斯定理可得：
?圆柱面E*ds=?两端面E*ds+?侧面E*ds=0
那么带电小球在r处所受静电力为：
Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
考虑到线性恢复力，小球在它的作用下将绕O点做简谐振动。
所以周期T=4πR根号εm/λq
“搞定。”历经CMO乃至IMO的洗礼，沈奇在学科竞赛的赛场上已算一位经验丰富的老将。
数竞也好，物竞也罢，竞赛模式大同小异。
既然是老将，就不能骄傲自大、暴躁浮夸，必须时刻保持严谨的竞赛作风。
沈奇检查了一遍考卷，然后交卷，此时距开考过去了30多分钟。
“这尼玛？”
“卧槽？”
“这么早交卷？”
“不停的写，写满试卷也得30分钟吧？”
“这货不用思考的？还是瞎几把写？”
同一考场的其他选手明显受到沈奇交卷的影响，各自在心中高呼MMP。
虽然CPhO全国初赛的考卷不难，但这么早交卷也属罕见。
物竞圈子里也有眼尖的选手：“提前交卷这货……莫非是沈奇？那个国际奥数竞赛的冠军？”
沈奇走到考场门口，阿嚏，忽然打了个喷嚏，脊梁骨竟冒出一丝寒意。
“谁在骂我？”沈奇猛然回头，眼神犀利扫视众选手。
“草！”
众选手菊花乱颤，遂埋头继续答题。
“喂，交了卷请迅速离开考场。”监考老师催促沈奇，并快速审视沈奇的试卷，该写的都写满了，有理有据，不像瞎蒙，这种情况允许提前两个多小时交卷。
沈奇大步离去，在考场外见到了穆蓉。
“这……沈奇你也太快了吧？”穆蓉有些意外。
沈奇略显从容：“一般一般，亚洲第三。”
“那亚洲前二是谁？”穆蓉忍住不让自己发笑。
沈奇一本正经的说到：“是校长和穆老师。”
“哈哈。”穆蓉终于忍不笑了起来，又觉得疑惑：“你这政治觉悟，政治考试不可能拿B吧？”她也听说了，沈奇政治考试拿了个B，其余几门都是A。
“哎，谁不曾年轻过，懵懂过。”沈奇一想起政治考试就不爽，黑历史啊，无法抹去的污点。当然了，高二下学期之前沈奇黑历史挺多的，既然无法抹去，那便坦然面对。
沈奇伸了个懒腰：“哈欠……好困，我要睡觉了。”
“去吧，回家好好休息，辛苦了。”穆蓉没有跟沈奇讨论任何一题，沈奇的行动说明了一切。
初赛的阅卷工作将在一到两周内完成，CPhO的复赛安排在四月中旬举行。
第二天，沈奇在南港二中遇见了几个校物竞队的队友。
“我估完分，觉得能考个140？”物竞队的队友林星宇说到。
“我错了一道选择题、两道填空题，两道计算题，初赛得分大概在120到130之间。”另一位队友白玲烨说到。
“你呢沈奇大佬？”林星宇问到。
“我估计在200分左右？或许最后一道计算题某些步骤要扣掉一两分，也说不准，不知道。”沈奇说到。
“牛！”林星宇对沈奇有种盲目的崇拜，200分就是满分。
“完了完了，初赛晋级分数线被沈奇拉高了。”白玲烨苦哈哈的说到。
“白玲烨你数学怕是不及格哦。”林星宇说到，“全国那么多选手参赛，一个满分就拉高分数线了？吐槽都不会，差评！”
……
……
（昨天初二在亲戚家喝大了，刚起床，脑壳疼，起来发一章存稿然后接着睡，今天估计码不了几个字，晚上还要去其他亲戚家吃饭，在我老家过年，20岁以上的男人不喝酒是不被允许的。
接到起点的通知，3月1日上架，我得存点稿，今天估计存一章稿都难，所以只能更新一章。）